一道拋物線定直線問題的再探究

351100     福建省莆田第五中學(xué)   鄭劍暉

《數(shù)學(xué)通訊》2014年第5、6期（上半月）文【1】由2014年《福建省高考“集結(jié)號(hào)”最后沖刺模擬卷》中的一道壓軸題給出了拋物線焦點(diǎn)與準(zhǔn)線的關(guān)聯(lián)性質(zhì)及推廣，即結(jié)論1、2、3、4，并發(fā)現(xiàn)了拋物線另一優(yōu)美性質(zhì)，即結(jié)論5、6. 讀后頗受啟發(fā)，但覺意猶未盡.本文擬對這些結(jié)論進(jìn)行推廣，并進(jìn)一步探究拋物線在這一相同條件下的另一些優(yōu)美性質(zhì). 先把結(jié)論1~6抄錄如下：

 已知點(diǎn)A、B為拋物線C：上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)A在第一象限，點(diǎn)B在第四象限，直線、分別過點(diǎn)A、B且與拋物線C相切，點(diǎn)P為直線、的交點(diǎn).                          

結(jié)論1 若直線AB過拋物線C的焦點(diǎn)F，則動(dòng)點(diǎn)在拋物線C的準(zhǔn)線上.

結(jié)論2 若動(dòng)點(diǎn)在拋物線C的準(zhǔn)線上. 則直線AB過拋物線C的焦點(diǎn)F，

結(jié)論3 若直線AB過定點(diǎn)則動(dòng)點(diǎn)在定直線上.

結(jié)論4若動(dòng)點(diǎn)在定直線上， 則直線AB過定點(diǎn)

結(jié)論5若直線AB過拋物線C的焦點(diǎn)F，則以AB為直徑的圓過點(diǎn)P

結(jié)論6 若以AB為直徑的圓過點(diǎn)P，則直線AB過拋物線C的焦點(diǎn)F.

以上結(jié)論揭示了拋物線C的焦點(diǎn)與準(zhǔn)線、類焦點(diǎn)與類準(zhǔn)線的關(guān)聯(lián)性質(zhì)，下面對以上性質(zhì)進(jìn)行推廣和再探究.

一、再探究1：探究結(jié)論的推廣

上述結(jié)論1、2分別是結(jié)論3、4的特殊情況，而結(jié)論3與結(jié)論4、結(jié)論5與結(jié)論6互為逆命題 .能否把結(jié)論3、4，結(jié)論5、6推廣到更一般的情形？

 先看結(jié)論3、4，若把其中直線AB所過的“定點(diǎn)”推廣為“定點(diǎn)”，那么動(dòng)點(diǎn)是否在某定直線上？

設(shè)動(dòng)點(diǎn)( ,)，則切點(diǎn)弦所在直線的方程為  . 若直線過定點(diǎn)，則有，即這表明動(dòng)點(diǎn)（ ,)在定直線上； 反之，若點(diǎn) ,)在定直線 (在拋物線外部（不含焦點(diǎn)的區(qū)域）的部分）上，則有  即.代人直線的方程，得，即這表明直線過定點(diǎn).由此可把結(jié)論3、4推廣為：

已知點(diǎn)A、B為拋物線C：上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)A在第一象限，點(diǎn)B在第四象限，直線、分別過點(diǎn)A、B且與拋物線C相切，點(diǎn)P為直線、的交點(diǎn).     

結(jié)論7 若直線AB過定點(diǎn)，則動(dòng)點(diǎn)在定直線上. 結(jié)論8 若動(dòng)點(diǎn)在定直線上,則直線AB過定點(diǎn)

特別地，當(dāng)時(shí)，結(jié)論7、8分別為結(jié)論3、4.

對于結(jié)論5、6 ，其中“以AB為直徑的圓過點(diǎn)P”，即兩切線、的斜率滿足.若把其中直線AB所過的“焦點(diǎn)F”推廣為“類焦點(diǎn)”，那么兩切線、的斜率應(yīng)滿足什么條件？

設(shè)則切線、的方程分別為 則. 若直線AB過定點(diǎn)當(dāng)直線AB不與軸垂直即時(shí)，直線、的斜率、相等，即亦即.整理得即則.當(dāng)直線AB與軸垂直即時(shí)，得則；反之，若，把之代入，得，即 當(dāng)直線AB不與軸垂直即時(shí)，

，由此可得A、Q、B三點(diǎn)共線，即直線AB過定點(diǎn). 當(dāng)直線AB與軸垂直即時(shí)，可得直線AB也過定點(diǎn).綜上，可把結(jié)論5、6推廣為：

  已知點(diǎn)A、B為拋物線C：上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)A在第一象限，點(diǎn)B在第四象限，直線、分別過點(diǎn)A、B且與拋物線C相切，點(diǎn)P為直線、的交點(diǎn).

結(jié)論9  若直線AB過定點(diǎn)，則兩切線、的斜率滿足.

結(jié)論10 若兩切線、的斜率滿足，則直線AB過定點(diǎn)

特別地，當(dāng)時(shí)，結(jié)論9、10分別為結(jié)論5、6.

二、再探究2： 探究新結(jié)論

在上述結(jié)論的條件下，拋物線C還具有哪些優(yōu)美的性質(zhì)？經(jīng)探究，拋物線C還具有如下一些優(yōu)美的性質(zhì)：

  已知點(diǎn)A、B為拋物線C：上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)A在第一象限，點(diǎn)B在第四象限，直線、分別過點(diǎn)A、B且與拋物線C相切，點(diǎn)P為直線、的交點(diǎn).

結(jié)論11 若直線AB過拋物線C的焦點(diǎn)F，則分別以PA、PB為直徑的圓均過拋物線C的焦點(diǎn)F.

結(jié)論12 若分別以PA、PB為直徑的圓均過拋物線C的焦點(diǎn)F，則直線AB過拋物線C的焦點(diǎn)F.

結(jié)論13 若直線AB過定點(diǎn)，且直線AB、PQ的斜率均存在，則

結(jié)論14 若且直線AB、PQ的斜率均存在，且，則直線AB過定點(diǎn)

結(jié)論15 若直線AB過定點(diǎn)，且直線、PQ、的斜率均存在，則成等差數(shù)列,即.

結(jié)論16若直線、PQ、的斜率均存在且成等差數(shù)列,即，則直線AB過定點(diǎn).

顯然，結(jié)論11、12是結(jié)論13、14的特殊情況，下面只證明結(jié)論13、14、15、16.

證明設(shè)則切線、的方程分別為兩式相減，得，由此可得代入切線的方程即可得,則于是又則

，

若直線AB過定點(diǎn)，且不與軸垂直即時(shí)，直線、的斜率、相等，即亦即.整理得即則，即.

當(dāng)直線AB與軸垂直即時(shí)，得則，即；

反之，若代入得解得，即 由存在知直線AB不與軸垂直即，則

，由此可得A、Q、B三點(diǎn)共線，即直線AB過定點(diǎn).

若， 即當(dāng)直線AB不與軸垂直即時(shí)，，可解得，即 同上可得，A、Q、B三點(diǎn)共線，即直線AB過定點(diǎn)；當(dāng)直線AB與軸垂直即時(shí)，可得直線AB也過定點(diǎn).這就證明了結(jié)論13、14、15、16.：

至此，我們完成了對文【1】的結(jié)論的推廣和再發(fā)現(xiàn).

參考文獻(xiàn)

【1】卓文隆.一道拋物線定直線問題的推廣.數(shù)學(xué)通訊，2014（5、6）（上半月）.